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status: archived
date: 2026-05-03
created: 2026-05-03
updated: 1980-01-01
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## Étapes de l'ACP

1. **Collecte des données :**
   - Rassemblez un ensemble de données multivariées où les variables peuvent être corrélées les unes aux autres.

2. **Standardisation des données :**
   - Centrer et réduire les données signifie soustraire la moyenne de l'ensemble des données et diviser par l'écart-type. Cela permet d'obtenir des données avec une moyenne de zéro et un écart-type de un, ce qui est utile dans certaines analyses statistiques et algorithmes d'apprentissage automatique.

3. **Calcul de la matrice de covariance ou de corrélation :**
   - Calculez la matrice de covariance ou de corrélation des données standardisées.

4. **Calcul des valeurs propres et vecteurs propres :**
   - Calculez les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice de covariance ou de corrélation.

5. **Sélection des composantes principales :**
   - Triez les vecteurs propres et les valeurs propres par ordre décroissant et choisissez le nombre de composantes principales à conserver.

6. **Projection des données :**
   - Projetez les données standardisées sur les composantes principales choisies en multipliant la matrice des données par la matrice des composantes principales.

### Calcul des Valeurs Propres d'une Matrice Diagonale

Considérons la matrice diagonale \(B\) :

\[ B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]

Les valeurs propres de \(B\) sont \(\lambda = 2\), \(\lambda = 5\), et \(\lambda = -1\).

##### Valeur Propre \(\lambda = 2\)

L'équation caractéristique est \((\lambda - 2)(\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0\), et la solution est \(\lambda = 2\). Ainsi, la matrice a une valeur propre de 2.

##### Valeur Propre \(\lambda = 5\)

L'équation caractéristique est \((\lambda - 2)(\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0\), et la solution est \(\lambda = 5\). Ainsi, la matrice a une valeur propre de 5.

##### Valeur Propre \(\lambda = -1\)

L'équation caractéristique est \((\lambda - 2)(\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0\), et la solution est \(\lambda = -1\). Ainsi, la matrice a une valeur propre de -1.

En résumé, la matrice \(B\) a trois valeurs propres distinctes : 2, 5, et -1.


### Calcul des Vecteurs Propres d'une Matrice

Considérons la matrice diagonale $B$ :

$$  \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$


Les valeurs propres de $B$ sont $\lambda = 2$, $\lambda = 5$, et $\lambda = -1$.

##### Vecteur Propre pour $\lambda = 2$

Résolvons $(B - 2I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ :

$$ (B - 2I) \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$


Un vecteur propre associé est $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.

##### Vecteur Propre pour $\lambda = 5$

Résolvons $(B - 5I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ :

$$ (B - 5I) \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{bmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$


Un vecteur propre associé est $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

##### Vecteur Propre pour $\lambda = -1$

Résolvons $(B + I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ :

$$ (B + I) \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$

Un vecteur propre associé est $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$.

Ainsi, les vecteurs propres correspondants aux valeurs propres de la matrice $B$ sont $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, et $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$.


# Analyse en Composantes Principales (ACP)

  -  Exemple :
##### Donnée Initial
​X1​=[2,3,5]
X2​=[4,6,8]
X3​=[1,5,3]
X4​=[3,8,6]​
##### La matrice de corrélation est :

[ 0.75  .  0.65  . 0.15]
 0.65  .  1.67  . 0.74 ]
 [0 15  .  0.74  .  0.75 ]
##### Données standardisées
- \(X_1 = [-0.45, -1.66, -0.68]\)
- \(X_2 = [1.34, 0.83, 1.36]\)
- \(X_3 = [-1.34, -0.42, -1.36]\)
- \(X_4 = [0.45, 1.25, 0.68]\)

##### Composantes principale ou les vecteurs propres choisies
- \(P_1 = [-0.48, -0.68, 0.56]\)
- \(P_2 = [-0.68, 0.14, -0.72]\)

##### Méthode de calculs de donné projeté 
- \(Y_1 = X_1  P_1 + X_2  P_2 = [-1.37, -0.81]\)
- \(Y_2 = X_2  P_1 + X_2  P_2 = [1.98, 0.16]\)
- \(Y_3 = X_3  P_1 + X_3  P_2 = [-0.20, -1.18]\)
- \(Y_4 = X_4  P_1 + X_4  P_2 = [0.58, 1.84]\)

#### Règle de Kaiser
- La règle de Kaiser est souvent utilisée pour déterminer le nombre de composantes principales à retenir lors de l'analyse en composantes principales. Selon cette règle, on retient les composantes principales dont la valeur propre est supérieure à 1.